2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析

出处:老师板报网 时间:2023-02-09

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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=(  )A.1B.C.D.22.(5分)sin20°cos10°cos160°sin10°=﹣(  )A.B.C.D.3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为(  )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(  )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是(  )A.B.C.D.6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )A.B.C.D.8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  )A.(kπ﹣,kπ+),k∈zB.(2kπ﹣,2kπ+),k∈zC.(k﹣,k+),k∈zD.(,2k+),k∈z9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(  )A.5B.6C.7D.810.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )A.10B.20C.30D.6011.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )A.1B.2C.4D.812.(5分)设函数f(x)=ex(2x1﹣)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(  )A.[)B.[)C.[)D.[) 二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=  .14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为  .15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为  .16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是  . 三、解答题:17.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3(I)求{an}的通项公式:(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi﹣)2(wi﹣)2(xi﹣)(yi﹣)(wi﹣)(yi﹣)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx﹣.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1v1),(u2v2)…..(unvn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=lnx﹣(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数. 选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小. 选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=2﹣,圆C2:(x1﹣)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. 选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|2﹣|xa﹣|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=(  )A.1B.C.D.2【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先化简复数,再求模即可.【解答】解:∵复数z满足=i,∴1+z=izi﹣,∴z(1+i)=i1﹣,∴z==i,∴|z|=1,故选:A.【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础. 2.(5分)sin20°cos10°cos160°sin10°=﹣(  )A.B.C.D.【考点】GP:两角和与差的三角函数.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可.【解答】解:sin20°cos10°cos160°sin10°﹣=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.故选:D.【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查. 3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为(  )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【考点】2J:命题的否定.菁优网版权所有【专题】5L:简易逻辑.【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n,故选:C.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(  )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.【解答】解:由题意可知:同学3次测试满足X∽B(3,0.6),该同学通过测试的概率为=0.648.故选:A.【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查. 5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是(  )A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定y0的取值范围.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y021﹣<0,所以﹣<y0<.故选:A.【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.【解答】解:设圆锥的底面半径为r,则r=8,解得r=,故米堆的体积为××π×()2×5≈,∵1斛米的体积约为1.62立方,∴÷1.62≈22,故选:B.【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础. 7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )A.B.C.D.【考点】96:平行向量(共线).菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为,然后结合已知表示为的形式.【解答】解:由已知得到如图由===;故选:A.【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量表示为. 8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  )A.(kπ﹣,kπ+),k∈zB.(2kπ﹣,2kπ+),k∈zC.(k﹣,k+),k∈zD.(,2k+),k∈z【考点】HA:余弦函数的单调性.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,故选:D.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. 9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(  )A.5B.6C.7D.8【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:第一次执行循环体后,S=,m=,n=1,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=2,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=3,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=6,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=7,满足退出循环的条件;故输出的n值为7,故选:C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 10.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )A.10B.20C.30D.60【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5P:二项式定理.【分析】利用展开式的通项,即可得出结论.【解答】解:(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=,令r=2,则(x2+x)3的通项为=,令6k=5﹣,则k=1,∴(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30.故选:C.【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键. 11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )A.1B.2C.4D.8【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有【专题】5Q:立体几何.【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,又∵该几何体的表面积为16+20π,∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,故选:B.【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 12.(5分)设函数f(x)=ex(2x1﹣)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(  )A.[)B.[)C.[)D.[)【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.【分析】设g(x)=ex(2x1﹣),y=axa﹣,问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=axa﹣的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=1﹣且g(﹣1)=3e﹣1﹣≥aa﹣﹣,解关于a的不等式组可得.【解答】解:设g(x)=ex(2x1﹣),y=axa﹣,由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=axa﹣的下方,∵g′(x)=ex(2x1﹣)+2ex=ex(2x+1),∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,当x=0时,g(0)=1﹣,当x=1时,g(1)=e>0,直线y=axa﹣恒过定点(1,0)且斜率为a,故﹣a>g(0)=1﹣且g(﹣1)=3e﹣1﹣≥aa﹣﹣,解得≤a<1故选:D.【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题. 二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= 1 .【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解.【解答】解:∵f(x)=xln(x+)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴(﹣x)ln(﹣x+)=xln(x+),∴ln﹣(﹣x+)=ln(x+),∴ln(﹣x+)+ln(x+)=0,∴ln(+x)(﹣x)=0,∴lna=0,∴a=1.故答案为:1.【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题. 14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为 (x﹣)2+y2= .【考点】K3:椭圆的标准方程.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.【解答】解:一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.可知椭圆的右顶点坐标(4,0),上下顶点坐标(0,±2),设圆的圆心(a,0),则,解得a=,圆的半径为:,所求圆的方程为:(x﹣)2+y2=.故答案为:(x﹣)2+y2=.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力. 15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为 3 .【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A(1,3),kOA==3,即的最大值为3.故答案为:3.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法. 16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是 (﹣,+) .【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版权所有【专题】15:综合题;2:创新题型;58:解三角形.【分析】如图所示,延长BA,CD交于点E,设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,求出x+m=+,即可求出AB的取值范围.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m=+,∴0<x<4,而AB=x+m﹣x=+﹣x,∴AB的取值范围是(﹣,+).故答案为:(﹣,+).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为﹣;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为+;故答案为:(﹣,+).【点评】本题考查求AB的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 三、解答题:17.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3(I)求{an}的通项公式:(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式:(Ⅱ)求出bn=,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.【解答】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12a﹣n2+2(an+1a﹣n)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12a﹣n2=(an+1+an)(an+1a﹣n),∵an>0,∴an+1a﹣n=2,∵a12+2a1=4a1+3,∴a1=1﹣(舍)或a1=3,则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{an}的通项公式an=3+2(n1﹣)=2n+1:(Ⅱ)∵an=2n+1,∴bn===(﹣),∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键. 18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【考点】LM:异面直线及其所成的角;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角;5H:空间向量及应用.【分析】(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到;(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz﹣,求得A,E,F,C的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,在菱形ABCD中,不妨设BG=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=,BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,可知AE=EC,又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC,在直角△EBG中,可得BE=,故DF=,在直角三角形FDG中,可得FG=,在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,FD=,可得EF==,从而EG2+FG2=EF2,则EG⊥FG,(或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1,可得∠EGB+∠FGD=90°,则EG⊥FG)AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC,由EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz﹣,由(Ⅰ)可得A(0,﹣,0),E(1,0,),F(﹣1,0,),C(0,,0),即有=(1,,),=(﹣1,﹣,),故cos<,>===﹣.则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为.【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题. 19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi﹣)2(wi﹣)2(xi﹣)(yi﹣)(wi﹣)(yi﹣)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2yx﹣.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1v1),(u2v2)…..(unvn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.【考点】BK:线性回归方程.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出,(Ⅱ)先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w,问题得以解决;(Ⅲ)(i)年宣传费x=49时,代入到回归方程,计算即可,(ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于==68,=﹣=56368﹣×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68,(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.249=66.32﹣,(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,当==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题. 20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y=′,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a=0﹣﹣,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明.【解答】解:(I)联立,不妨取M,N,由曲线C:y=可得:y=′,∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:ya=﹣,化为.同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明:设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.联立,化为x24kx4a=0﹣﹣,∴x1+x2=4k,x1x2=4a﹣.∴k1+k2=+==.当b=a﹣时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,∴∠OPM=∠OPN.∴点P(0,﹣a)符合条件.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=lnx﹣(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=lnx﹣<0,可得函数h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;当x∈(0,1)时,g(x)=lnx﹣>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤3﹣或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调性极值即可得出.【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,∴,解得,a=.因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=lnx﹣<0,∴函数h(x)=min{f(x),g(x)}<0,故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,∴h(x)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;当x∈(0,1)时,g(x)=lnx﹣>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.①当a≤3﹣或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤3﹣时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=.若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.若=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.当时,h(x)有一个零点;当a=或时,h(x)有两个零点;当时,函数h(x)有三个零点.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.菁优网版权所有【专题】5B:直线与圆.【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度.【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,连接OE,则∠OBE=∠OEB,又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得AE2=CE•BE,∴x2=,即x4+x212=0﹣,解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题. 选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=2﹣,圆C2:(x1﹣)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ23﹣ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=2﹣的极坐标方程为ρcosθ=2﹣,故C2:(x1﹣)2+(y2﹣)2=1的极坐标方程为:(ρcosθ1﹣)2+(ρsinθ2﹣)2=1,化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入圆C2:(x1﹣)2+(y2﹣)2=1,可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,求得ρ1=2,ρ2=,∴|MN|=|ρ1ρ﹣2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题 选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|2﹣|xa﹣|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|2﹣|x1﹣|>1,即①,或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(,2).(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|2﹣|xa﹣|=,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想属于中档题. 
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